# Factorization of  Wendt's  Determinant

Wendt's binomial circulant determinant  of order  n  ( Wn )  is most compactly defined as the resultant of the two polynomials  xn-1  and  (x+1)n-1.  For small values of n,  it can be  computed that way  on pocket calculators endowed with a  computer algebra system  (CAS).

The integer  Wn  is also the determinant of a  circulant  matrix of integers  (binomial coefficients).  That's how  Wn  was introduced in the doctoral dissertation  defended on  1894-07-04  (at Universität Berlin)  by  [Adolf] Ernst Wendt  (1872-1946).

 For example : 1 5 10 10 5 W5  =  det [ C(5,|i-j|) ]  = 5 1 5 10 10 =  3751  =  112 . 31 10 5 1 5 10 10 10 5 1 5 5 10 10 5 1

Since a Wendt matrix is a  circulant matrix,  its  eigenvalues  can be obtained in closed form.  The determinant is the product of those eigenvalues:

 n-1 Wn = Õ { [ 1+ exp ( 2 i p k/n ) ] n - 1 } k = 0 (n-1)/2 = (-1)n+1 (2n-1) Õ { 2n cosn ( kp/n ) - (-1)k } 2 k = 1

If m divides n, then Wm divides Wn  (HINT: the above product includes the factors which form the integer W).
The  nth  Mersenne number  2n-1  divides Wn  (HINT: it's the first factor (k=0) in the above).

### Wendt's theorem  (1894) :

If  p  and  q  are odd primes such that  q = 1+np,  where  n  isn't divisible by  6,  then
the equation  xp+yp = z  has nontrivial solutions  modulo  q  if and only if  q  divides  Wn

This theorem is only relevant when  n  is even...

### Remarks and Conjectures  (2007-01-03) :

• Wn   is positive if and only if n is odd.
• Wn   is zero if and only if n is a multiple of 6  (Emma Lehmer, 1935).
For the products of the nonzero eigenvalues of Wendt matrices, see A086569.
• If  m  is a divisor of  n,  then  Wm  divides  Wn   (cf.  usage note  if  Wm = 0).
• If  m  and  n  are coprime,  then  WWn  divides  Wmn   (Helou & Terjanian, 2005).
• (-1)n+1 (2n-1)  divides  Wn  and the quotient is a perfect square  (Sud Frame, 1980).
• If  n  is even,  then  Wn  is  3 times a perfect cube.
• If  n+1  is a power of a prime  p,  then  pn-1  divides Wn
• If  n  is odd and  2n+1  is prime, then  (2n+1)(n-1)/2  divides  Wn
The actual multiplicity is sometimes better:  5918 | W29  and  8322 | W41.
• New conjectures  (2015-12-31)  pertain to prime factors of the form  kn+1.
nFactorization of  Wn
1 1
2 -1 . 3
3 22 . 7
4 -1 . 3 . 53
5 112 . 31
6 0
7 26 . 292 . 127
8 -1 . 37 . 53 . 173
9 22 . 7 . 194 . 372 . 73
10 -1 . 3 . 119 . 313
11 235 . 672 . 89 . 1992
12 0
13 36 . 532 . 792 . 1312 . 5212 . 8191
14 -1 . 224 . 3 . 296 . 433 . 1273
15 214 . 7 . 112 . 317 . 614 . 151 . 2712
16 -1 . 37 . 53 . 76 . 1715 . 2573
17 1032 . 1374 . 3072 . 4092 . 6132 . 35712 . 131071
18 0
19 1912 . 2294 . 4192 . 6472 . 7612 . 14832 . 93492 . 524287
20 -1 . 3 . 524 . 119 . 313 . 419 . 616
21 28 . 710 . 292 . 4310 . 127 . 2112 . 337 . 3792 . 4632 . 5472 . 22692
22 -1 . 3 . 2321 . 676 . 893 . 4310 . 1996 . 6833
23 4711 . 1394 . 4614 . 5994 . 11512 . 23472 . 33132 . 178481
24 0
25 112 . 31 . 1016 . 1514 . 2512 . 4012 . 601 . 11514 . 13012 . 1801 . 19512 . 38512 . 58012 . 61012
26 -1 . 325 . 5312 . 796 . 1316 . 5216 . 27313 . 81913
27 22 . 7 . 194 . 372 . 73 . 1096 . 1634 . 2712 . 4332 . 4872 . 7572 . 8112 . 9192 . 22692. 57792 . 194412 . 199272 . 262657
28 -1 . 260 . 3 . 53 . 136 . 2927 . 433 . 1139 . 1273 . 1976
29 5918 . 2333 . 3492 . 1103 . 2089 . 49312 . 98032 . 124132 . 180972 . 185032 . 194892 . 240712 . 656572
30 0
31 230 . 56 . 3112 . 6832 . 11172 . 14892 . 59534 . 62632 . 167412 . 200892 . 279012 . 347212 . 380692 . 464392 . 30103492 . 2147483647
32 -1 . 37 . 53 . 76 . 1715 . 476 . 9712 . 1936 . 2579. 655373
33 22 . 7 . 235 . 432 . 6716 . 89 . 1996 . 3314 . 3974 . 4634 . 6612 . 8592 . 23112 . 29712 . 36312 . 99012 . 254112 . 1764192 . 599479
34 -1 . 3 . 10312 . 13712 . 2396 . 3076 . 4096 . 6136 . 35716 . 436913 . 1310713
35 26 . 112 . 294 . 31 . 412 . 7117 . 127 . 2116 . 2814 . 4214 . 7012 . 9114 . 23814 . 30112 . 33612 . 42712 . 57412 . 73512 . 78412 . 388512 . 122921
36 0
37 1498 . 2239 . 5932 . 12592 . 14812 . 19992 . 327832 . 674892 . 688212 . 1323132 . 1468912 . 1727172 . 2625532 . 3253792 . 3320392 . 13854292 . 540185212 . 616318177
38 -1 . 3 . 76 . 19112 . 22912 . 4196 . 4576 . 6476 . 7616 . 14836 . 93496 . 1747633 . 5242873
39 22 . 330 . 7 . 532 . 7919 . 1032 . 1312 . 1578 . 3132 . 5212 . 5472 . 8592 . 9372 . 11714 . 12494 . 14832 . 28872 . 31212 . 35112 . 65532 . 8191 . 101412 . 131832 . 227772 . 121369 . 3985812
40 -1 . 319 . 524 . 1115 . 173 . 319 . 4139 . 616 . 2416 . 28112 . 6416 . 8816 . 616813
41 8322 . 7392 . 8212 . 12312 . 15592 . 17232 . 36912 . 63972 . 123012 . 13367 . 770812 . 1011074 . 2064772 . 3407932 . 3489112 . 7916292 . 9885112 . 10240992 . 13357812 . 164511353 . 3702484512
42 0
43 17312 . 4317 . 10334 . 15492 . 17212 . 22372 . 36132 . 55912 . 67092 . 69672 . 9719 . 108372 . 117832 . 319072 . 1444812 . 1780212 . 5166892 . 5334592 . 7456212 . 9529672 . 11241072 . 11449192 . 19992432 . 2099863 . 25327012
44 -1 . 3 . 53 . 2321 . 676 . 8921 . 1996 . 3536 . 3979 . 6176 . 6833 . 10136 . 21139 . 23336 . 32576 . 43576
45 214 . 7 . 112 . 196 . 317 . 372 . 614 . 73 . 151 . 18112 . 2718 . 5414 . 6313 . 8112 . 9912 . 11712 . 15312 . 21612 . 22512 . 23412 . 35114 . 40512 . 66612 . 96312 . 117012 . 151212 . 198912 . 206112 . 218712 . 23311 . 307812 . 477912 . 488712 . 3876312 . 7555512
46 -1 . 3 . 4745 . 13912 . 4616 . 59912 . 69112 . 8296 . 11516 . 23476 . 33136 . 1784813 . 27962033
47 2834 . 6592 . 9414 . 11292 . 12232 . 16932 . 20692 . 23513 . 26332 . 37612 . 4513 . 50772 . 68632 . 81792 . 119392 . 369432 . 673992 . 5491494 . 5494312 . 13521912 . 17543232 . 19329232 . 34629612 . 42209772 . 51871092 . 64507512 . 71455992 . 100321512 . 13264529 . 66438388792
48 0
49 26 . 292 . 127 . 19712 . 4916 . 8832 . 13732 . 14712 . 26472 . 49992 . 64692 . 73512 . 346932 . 484132 . 632112 . 1192672 . 1202474 . 1207372 . 1455312 . 3919032 . 6819832 . 24337332 . 25009612 . 26016072 . 39748812 . 44851672 . 57603432 . 66251932 . 114323872 . 5997860692 . 4432676798593
50 -1 . 3 . 119 . 313 . 10124 . 15118 . 2519 . 4016 . 6013 . 115112 . 13016 . 16016 . 18013 . 19516 . 38516 . 40513 . 46516 . 58016 . 61016
51 22 . 7 . 10325 . 1374 . 30710 . 4098 . 5772 . 6136 . 9192 . 10214 . 14294 . 2143 . 23472 . 30612 . 34692 . 35712 . 45912 . 103034 . 11119 . 123434 . 174432 . 244812 . 300912 . 334572 . 468192 . 966972 . 1265832 . 131071 . 1350492 . 2316432 . 4773612 . 23369232 . 1291598472
52 -1 . 325 . 53 . 5351 . 796 . 1316 . 15715 . 2336 . 31312 . 5216 . 6776 . 13016 . 16139 . 27313 . 67096 . 81913 . 134176 . 205936
53 10726 . 7436 . 10612 . 23332 . 31812 . 54072 . 60432 . 6361 . 71032 . 149472 . 150532 . 270312 . 277734 . 627532 . 69431 . 734592 . 1510512 . 1911192 . 2435892 . 2467692 . 29653512 . 176836632 . 20394401 . 435740572 . 523615632 . 540870312 . 583027572 . 794164732 . 799537872 . 6286167832 . 1192188513712
54 0
55 1128 . 235 . 31 . 672 . 89 . 1994 . 3318 . 6614 . 881 . 9912 . 13212 . 18712 . 23114 . 25312 . 28612 . 3191 . 36312 . 46212 . 55012 . 75912 . 134212 . 174912 . 391614 . 411412 . 498312 . 1326612 . 1665412 . 201961 . 2223112 . 2240712 . 2266014 . 2857812 . 3741112 . 4150312 . 4922512 . 5701312 . 6276612 . 10764612 . 13053712 . 69282412 . 241558912 . 600022512
56 -1 . 2132 . 37 . 53 . 1318 . 173 . 2927 . 416 . 439 . 11327 . 1279 . 1976 . 28112 . 33712 . 4496 . 6176 . 6736 . 9536 . 63296 . 70016 . 127136 . 157903213
57 22 . 77 . 374 . 1912 . 22912 . 4192 . 4572 . 5712 . 6472 . 7612 . 14832 . 15972 . 28512 . 30792 . 44474 . 57012 . 68412 . 93492 . 156192 . 174432 . 299834 . 305534 . 32377 . 328332 . 399014 . 539232 . 566592 . 864132 . 904032 . 932532 . 954192 . 1019172 . 1114932 . 1231212 . 1395372 . 2123832 . 2254932 . 3350472 . 3473592 . 524287 . 6535632 . 7355292 . 8074632 . 8227392 . 1212847 . 130986012 . 11623205172
58 -1 . 3 . 5969 . 2339 . 3496 . 11033 . 20893 . 49316 . 58016 . 71936 . 98036 . 124136 . 180976 . 185036 . 194896 . 215776 . 240716 . 656576 . 30331693
59 7094 . 8272 . 10632 . 18892 . 77892 . 89692 . 130992 . 220672 . 311532 . 411832 . 179951 . 2036692 . 3364192 . 3621432 . 3996672 . 160366734 . 160490632 . 487112272 . 816366492 . 958226092 . 1003892092 . 1214156292 . 1396063912 . 1523502732 . 1906626312 . 2308941412 . 2451557392 . 2949939832 . 3092870872 . 3656573392 . 4412416492 . 6084194472 . 6316161232 . 6349641372 . 62290094892 . 3203431780337
60 0
61 36710 . 7332 . 9774 . 18312 . 40272 . 91512 . 98832 . 153732 . 175692 . 211072 . 904032 . 1525012 . 1884912 . 4207792 . 5054472 . 7589632 . 7638432 . 13537132 . 281585774 . 1411819392 . 1756209532 . 3138490272 . 3294317212 . 3501593992 . 3611644092 . 4105106032 . 4872970372 . 6182051112 . 6784106472 . 7131754012 . 7878267132 . 8665679532 . 12538837932 . 12637339512 . 56007482938012 . 2305843009213693951
62 -1 . 2120 . 3 . 530 . 3116 . 3736 . 6836 . 11176 . 14896 . 595312 . 626312 . 116576 . 167416 . 200896 . 279016 . 347216 . 380696 . 464396 . 468116 . 30103496 . 7158278833 . 21474836473
63 262 . 710 . 194 . 292 . 372 . 4310 . 73 . 12731 . 1812 . 1972 . 2112 . 337 . 37910 . 4632 . 5472 . 6314 . 7576 . 8836 . 10094 . 20174 . 22692 . 25212 . 26472 . 35292 . 47894 . 51672 . 66792 . 70572 . 75614 . 76872 . 88212 . 153732 . 230592 . 304932 . 312492 . 371712 . 718212 . 898392 . 902174 . 92737 . 1035732 . 1260012 . 1475472 . 3385632 . 4693512 . 649657 . 9378192 . 18102432 . 24731292 . 27049692 . 5505542292
64 -1 . 37 . 53 . 76 . 1715 . 476 . 9712 . 19318 . 25715 . 3536 . 4496 . 6419 . 22076 . 793712 . 146576 . 158096 . 215696 . 274576 . 334096 . 484496 . 633616 . 655379 . 659216 . 2043536 . 67004173
65 36 . 112 . 31 . 532 . 792 . 13132 . 52110 . 9116 . 11714 . 13014 . 20814 . 23414 . 27312 . 28614 . 32512 . 35112 . 42112 . 55912 . 8191 . 130012 . 145612 . 245714 . 280812 . 456312 . 804712 . 1236312 . 1487212 . 2815812 . 3838912 . 3907812 . 4295212 . 6919912 . 8398012 . 10874512 . 10896612 . 14626312 . 32110014 . 38447512 . 38602212 . 42628312 . 42647812 . 180254112 . 428337012 . 966540912 . 5839278912 . 9556300012 . 145295143558111
66 0
67 26918 . 20114 . 32172 . 40212 . 42892 . 44232 . 46914 . 62992 . 76392 . 84432 . 136692 . 147412 . 196992 . 324294 . 388612 . 473032 . 836172 . 1108192 . 3982492 . 4730212 . 12988632 . 31804912 . 37538772 . 43500432 . 59234712 . 175569492 . 204312492 . 193707721 . 4928462392 . 13129965892 . 14376657672 . 23814949012 . 27187142092 . 32616658612 . 34459860772 . 37588543692 . 47466759712 . 53432721112 . 54070226112 . 65603717332 . 95330593572 . 98506243492 . 249941184492 . 761838257287
68 -1 . 3 . 53 . 10312 . 13733 . 2396 . 3076 . 4096 . 6136 . 9539 . 15976 . 285712 . 35716 . 74816 . 75496 . 193816 . 263179 . 291736 . 436913 . 513416 . 605216 . 834376 . 1070336 . 1109096 . 1310713 . 2581976 . 4420696
69 22 . 7 . 4711 . 13934 . 27718 . 4612 . 5994 . 6918 . 8296 . 9678 . 11512 . 13812 . 16574 . 19334 . 23472 . 33134 . 37272 . 49692 . 51072 . 55212 . 60732 . 62112 . 76812 . 78672 . 89712 . 91092 . 182172 . 284292 . 415392 . 419532 . 525792 . 552012 . 1326192 . 178481 . 4269732 . 4349772 . 4457414 . 9648972 . 10314132 . 13787592 . 14764632 . 14789472 . 14855712 . 19086792 . 22299432 . 30256512 . 34326132 . 53356332 . 126961392 . 140628912 . 235357947072 . 10052678938039
70 -1 . 224 . 3 . 119 . 2918 . 313 . 416 . 433 . 7169 . 1273 . 21124 . 28115 . 42112 . 6316 . 7016 . 91118 . 238112 . 30116 . 33616 . 42716 . 55316 . 57416 . 73516 . 78416 . 268816 . 388516 . 861713 . 1229213
71 5694 . 8536 . 12796 . 18472 . 21312 . 22734 . 26994 . 42614 . 69592 . 82372 . 85212 . 86632 . 146272 . 274072 . 316672 . 538192 . 559492 . 896032 . 1300732 . 228479 . 2582992 . 3136792 . 3667872 . 5492572 . 5635992 . 21717492 . 62806612 . 63368932 . 83386672 . 164444532 . 48544121 . 212885833 . 2690863092 . 4685991494 . 37687099632 . 53963785732 . 54211090092 . 59010691512 . 66357052992 . 84755231872 . 88512389992 . 102113380032 . 115510496412 . 205774317232 . 209885869012 . 379839766072 . 389923240032 . 391312721392 . 6888465025883992
72 0
73 218 . 29320 . 43915 . 87710 . 17534 . 33592 . 37972 . 59872 . 65712 . 68632 . 91992 . 192732 . 335812 . 346032 . 959232 . 1373872 . 1515492 . 2184172 . 3388672 . 4220872 . 9376134 . 14261292 . 21784672 . 2298041 . 27671392 . 28062672 . 62947912 . 92031112 . 95622712 . 138320412 . 180981612 . 188585292 . 316068112 . 540049632 . 575977312 . 588128892 . 797738172 . 812265172 . 884527872 . 948973732 . 1148863792 . 1695055632 . 1770298192 . 67372104432 . 73054596712 . 118999370292 . 131208747312 . 390786604692 . 748766067672 . 9361973132609
74 -1 . 3 . 476 . 14936 . 22327 . 59312 . 12596 . 14816 . 17773 . 19996 . 31096 . 3278312 . 643816 . 674896 . 688216 . 1089296 . 1323136 . 1468916 . 1727176 . 2625536 . 3253796 . 3320396 . 13854296 . 257810833 . 540185216 . 6163181773
75 214 . 7 . 112 . 317 . 614 . 1016 . 15137 . 2512 . 2712 . 4012 . 6019 . 7518 . 10512 . 11514 . 12014 . 13012 . 1801 . 19514 . 22512 . 25512 . 28512 . 30012 . 33012 . 38512 . 42012 . 45492 . 48012 . 51012 . 58012 . 61012 . 61512 . 64512 . 73512 . 91512 . 123014 . 184514 . 205514 . 225012 . 232512 . 258014 . 262512 . 324012 . 492012 . 498014 . 546012 . 561012 . 576012 . 577512 . 666012 . 715512 . 946512 . 100801 . 1036512 . 1068012 . 1191012 . 1227012 . 1230012 . 1495512 . 1855512 . 3063012 . 3369012 . 5391012 . 15306012 . 32203512 . 43065012 . 55614012 . 63127512 . 63604512 . 68947512 . 10567201 . 229966512 . 379968012
76 -1 . 3 . 53 . 76 . 376 . 1136 . 19112 . 22927 . 4196 . 45715 . 6476 . 7616 . 14836 . 21296 . 874112 . 93496 . 194576 . 408136 . 419536 . 666536 . 737216 . 908216 . 1747633 . 2156896 . 2230616 . 2463176 . 2552096 . 4412576 . 5242873 . 5253139 . 11145416 . 20339896
77 26 . 235 . 292 . 432 . 672 . 89 . 127 . 1992 . 46312 . 61710 . 20034 . 23112 . 29272 . 38512 . 41592 . 60072 . 67332 . 73932 . 89332 . 98572 . 107814 . 112432 . 133992 . 143232 . 154014 . 264892 . 297234 . 374232 . 380392 . 2191432 . 2297692 . 2767392 . 3326412 . 5148232 . 5420812 . 7513672 . 18355272 . 19655032 . 24201112 . 26139972 . 32908272 . 93219292 . 121724692 . 137625192 . 177284812 . 188103312 . 284829172 . 311873112 . 355362712 . 414720472 . 633771612 . 1140619492 . 2870904972 . 4453723132 . 5155194672 . 6775969212 . 9645369592 . 10531197612 . 12085970832 . 16677425392 . 25743125112 . 40299765672 . 59708561232 . 68945692212 . 113075608812 . 581283643249112959
78 0
79 31718 . 14232 . 22132 . 23714 . 2687 . 37932 . 56892 . 61632 . 102712 . 109032 . 142212 . 180132 . 197514 . 322332 . 349192 . 467692 . 943272 . 1515232 . 1990812 . 2249934 . 2924592 . 4616772 . 7923712 . 10323732 . 12843832 . 13200912 . 25817212 . 32045572 . 50424132 . 56129512 . 60717832 . 63595012 . 67477072 . 140179192 . 315345892 . 335704192 . 405137292 . 485233812 . 202029703 . 2117590272 . 4279019212 . 11861071072 . 18594849372 . 194494588792 . 354964150912 . 456096027772 . 522580662912 . 608891017972 . 782380219332 . 1146042369772 . 1370265097792 . 2453234967232 . 2974630492672 . 1462429261212 . 1974338776332 . 2364855782292 . 1113491139767
80 -1 . 379 . 524 . 718 . 1115 . 1715 . 319 . 4139 . 616 . 716 . 896 . 24124 . 2573 . 28112 . 40112 . 4316 . 64112 . 8816 . 12016 . 13616 . 216118 . 448112 . 92816 . 96016 . 127216 . 349616 . 426416 . 491216 . 570416 . 616819 . 1364816 . 2207216 . 2476016 . 42782553613
81 22 . 7 . 194 . 372 . 73 . 1096 . 16340 . 2712 . 4332 . 48712 . 7572 . 81110 . 9192 . 12976 . 14594 . 16212 . 17836 . 22694 . 25933 . 29174 . 30792 . 37272 . 38892 . 48614 . 50232 . 57792 . 81012 . 115032 . 118272 . 194414 . 199274 . 301332 . 307812 . 353172 . 377472 . 71119 . 997932 . 1255512 . 1747992 . 2086572 . 2242092 . 262657 . 3011592 . 3385812 . 3917172 . 11336772 . 11665632 . 23587214 . 37655294 . 41107512 . 114551832 . 137991612 . 145482492 . 153606792 . 153763932 . 156402912 . 185002392 . 210510912 . 213838392 . 336924372 . 361629372 . 424276392 . 626502612 . 634704672 . 797890512 . 97685839 . 979176612 . 1977757572 . 9318343692 . 58794157812
82 -1 . 3 . 8387 . 7396 . 8216 . 123112 . 15596 . 17236 . 27896 . 35276 . 36916 . 63976 . 123016 . 133673 . 770816 . 10110712 . 2064776 . 3377596 . 3407936 . 3489116 . 4320596 . 7916296 . 9885116 . 10240996 . 13357816 . 21351176 . 1645113533 . 3702484516 . 88314186973
83 16741 . 49910 . 9974 . 11634 . 19932 . 46492 . 61432 . 84672 . 109572 . 116212 . 136134 . 194232 . 265612 . 652392 . 1560412 . 2451832 . 4407312 . 4906972 . 5338572 . 5697132 . 26754232 . 39262332 . 96832792 . 185158072 . 222209272 . 320165872 . 323064232 . 357613812 . 819455694 . 1520744272 . 7170886272 . 10742059212 . 11581225732 . 12611463232 . 13009951212 . 14949747532 . 15790783212 . 28752863332 . 32945922072 . 62024012592 . 68807665672 . 69576969432 . 1956538650072 . 2651128409632 . 3557732403072 . 4109621939232 . 4483317688092 . 5437043460772 . 5576387560912 . 6945862544712 . 8854813337332 . 23182008957432 . 24076308126172 . 57912614113275649087721
84 0
85 224 . 112 . 31 . 1032 . 1374 . 3072 . 4092 . 6132 . 10216 . 13614 . 15314 . 18712 . 23812 . 25512 . 35714 . 45912 . 49312 . 51012 . 61212 . 69712 . 81612 . 90112 . 91812 . 107112 . 156412 . 181912 . 192112 . 275412 . 538912 . 1054012 . 131071 . 1472212 . 2012812 . 5084712 . 5179912 . 5237712 . 6125112 . 6266212 . 11585514 . 15782812 . 22887112 . 26667912 . 41160412 . 104448012 . 127600314 . 211966212 . 212721012 . 247528512 . 305780712 . 424865712 . 451582912 . 695135112 . 1458593212 . 1492061112 . 1752931214 . 2779829812 . 2859534312 . 3595010412 . 3717543012 . 3779771512 . 5390414412 . 8118724012 . 11424765012 . 14141218812 . 19102534512 . 26984191812 . 35226121612 . 36039796012 . 75096316812 . 102293581512 . 167334983112 . 191309246712 . 696416903412 . 7086873937512 . 8588300125012 . 9520972806333758431
86 -1 . 3 . 796 . 17342 . 43121 . 103312 . 15496 . 17216 . 22376 . 36136 . 55916 . 67096 . 69676 . 97193 . 108376 . 117836 . 264896 . 319076 . 1444816 . 17802112 . 4103936 . 5166896 . 5334596 . 5869516 . 6650396 . 7456216 . 8970676 . 9529676 . 11241076 . 11449196 . 19992436 . 20998633 . 25327016 . 29320310074033
87 22 . 7 . 5918 . 2333 . 34922 . 52314 . 1103 . 15676 . 17412 . 20895 . 24374 . 33072 . 40032 . 4177 . 49312 . 60912 . 98032 . 124132 . 133994 . 168792 . 174012 . 177492 . 180972 . 185032 . 194892 . 200112 . 240712 . 422832 . 656572 . 682092 . 694272 . 807372 . 1021392 . 1144932 . 1223232 . 1224972 . 1264992 . 1421592 . 1543392 . 2616972 . 2834472 . 3396492 . 3683592 . 4379592 . 8668692 . 10011974 . 13833012 . 53859972 . 63148092 . 64682772 . 70069814 . 70795392 . 120919572 . 121069214 . 196454712 . 221185332 . 268165332 . 334741212 . 374644632 . 434439732 . 437204592 . 500326572 . 503865732 . 504925392 . 534000792 . 571871892 . 1083223092 . 1411340112 . 1990951512 . 2009687832 . 2345271192 . 3890352912 . 8450710212 . 8967824292 . 9122844372 . 9471040992 . 730259956212 . 9857737155463
88 -1 . 37 . 53 . 173 . 2327 . 436 . 676 . 8987 . 1996 . 3076 . 35315 . 3979 . 61712 . 6839 . 7696 . 88112 . 10136 . 132112 . 21139 . 23336 . 27296 . 31696 . 32576 . 43576 . 74816 . 251696 . 307136 . 391616 . 475216 . 483136 . 600176 . 2196496 . 23716112 . 3488336 . 7682416 . 20120336 . 22360816 . 29315424173
89 17946 . 10694 . 21378 . 26712 . 37394 . 39172 . 42732 . 55194 . 71212 . 74774 . 80112 . 96132 . 113932 . 234972 . 519772 . 1009272 . 1368832 . 2762572 . 2937012 . 4533672 . 4608432 . 5170912 . 7269532 . 9515892 . 10509132 . 15448632 . 15881172 . 18317992 . 22641612 . 27057792 . 28344732 . 29273892 . 33476472 . 51125172 . 52358712 . 71995672 . 90593112 . 98914614 . 133875592 . 147437412 . 170009592 . 400489332 . 498773812 . 1304392912 . 2712572272 . 4154537812 . 18082720972 . 73406870712 . 161089665372 . 161177782492 . 205126318912 . 340327589512 . 739573853632 . 15260947900092 . 15462911970672 . 19045260648532 . 36083331360172 . 54322888038292 . 70072303760872 . 84610222907332 . 109748292206092 . 5951369502280272 . 222355026409883692 . 618970019642690137449562111
90 0
91 26 . 312 . 292 . 532 . 792 . 127 . 1312 . 5212 . 54716 . 91117 . 10938 . 13012 . 20036 . 25494 . 27314 . 38234 . 65532 . 69172 . 80092 . 8191 . 123772 . 152892 . 163812 . 169272 . 178372 . 200212 . 207492 . 227512 . 245712 . 305772 . 325792 . 360372 . 551472 . 660672 . 664312 . 928212 . 1021032 . 1583412 . 2648112 . 3257812 . 4338892 . 5687512 . 6153432 . 6233512 . 6595694 . 11404132 . 18263712 . 28839732 . 35826712 . 37106172 . 68402892 . 71689812 . 86058712 . 91802632 . 243750792 . 528007492 . 536546932 . 989777892 . 1060342932 . 1126130472 . 112901153 . 1278784792 . 1309859472 . 1501798492 . 1763403472 . 3867409012 . 4242893212 . 4601424112 . 12907396332 . 13353915132 . 23913651592 . 25953005272 . 33882040932 . 90765449332 . 168196506672 . 186053496732 . 222385232172 . 23140471537 . 688014445312 . 954152379192 . 1085937798412 . 4176028964392 . 6121455041532 . 6896671519701612
92 -1 . 3 . 53 . 4745 . 13912 . 27727 . 46118 . 59912 . 69112 . 8296 . 10139 . 11516 . 12896 . 13816 . 16579 . 23476 . 33136 . 62576 . 286576 . 302699 . 755336 . 8307712 . 1562176 . 1784813 . 2914576 . 3393896 . 8618576 . 9099736 . 10060216 . 10993096 . 23563976 . 27962033 . 28068296 . 38575616 . 40464376 . 41793776 . 72483136 . 74044376
93 232 . 56 . 7 . 612 . 3112 . 37322 . 6832 . 111710 . 13034 . 14894 . 18614 . 27914 . 31632 . 39072 . 39672 . 40932 . 46512 . 59534 . 62632 . 68832 . 70692 . 107892 . 111614 . 161832 . 167412 . 172992 . 200892 . 241812 . 275292 . 279012 . 347212 . 372012 . 380692 . 442692 . 459432 . 464392 . 505932 . 606372 . 637992 . 745872 . 870492 . 1313172 . 1926972 . 2153892 . 2897892 . 3599112 . 5414472 . 5944572 . 6913632 . 10791732 . 23925192 . 25537812 . 29704214 . 30103492 . 30407292 . 30583992 . 35572512 . 207817814 . 229527732 . 235453692 . 251970492 . 355107492 . 382596434 . 532000932 . 1106076912 . 1302433392 . 1593138372 . 1700250192 . 2114732592 . 2130477492 . 2326807932 . 2718838272 . 3499136172 . 3774122292 . 4909432812 . 5389584372 . 6213750372 . 6614422272 . 7009880592 . 7057355232 . 8160093432 . 9074413632 . 12621072792 . 2147483647 . 196644344772 . 224347448892 . 4099068710532 . 882390504624612 . 658812288653553079
94 -1 . 3 . 28327 . 6596 . 94112 . 112912 . 12236 . 16936 . 17876 . 20696 . 23519 . 26336 . 37616 . 45133 . 50776 . 68636 . 81796 . 84616 . 119396 . 369436 . 673996 . 747316 . 54914912 . 54943112 . 12929716 . 13521916 . 17543236 . 19329236 . 25679876 . 32187496 . 34629616 . 42209776 . 51871096 . 64507516 . 71455996 . 100321516 . 132645293 . 66438388796 . 1657685375213
95 112 . 31 . 1512 . 19147 . 2294 . 4192 . 57116 . 6472 . 76118 . 14832 . 19016 . 22812 . 30414 . 45612 . 68412 . 81712 . 93494 . 108312 . 119712 . 155814 . 218512 . 275512 . 416114 . 1415512 . 1489612 . 1875312 . 2376912 . 2553612 . 2800612 . 3060912 . 3431412 . 3592912 . 524287 . 6686112 . 8751412 . 18257112 . 18412912 . 23959012 . 30073212 . 51180312 . 73611712 . 77316712 . 105816712 . 122460712 . 124151712 . 183211312 . 216326412 . 218671012 . 329826712 . 572262912 . 867901012 . 873829014 . 1310344512 . 1902392112 . 3705452212 . 420778751 . 4740536112 . 4750507312 . 5066230312 . 5556992712 . 12025987312 . 14594413012 . 17453755314 . 30327152671 . 30431963712 . 42417270112 . 123630885312 . 153585018012 . 415329496812 . 696439896612 . 1487664443412 . 2107810343512 . 2224235283112 . 3398741270512 . 5979789939712 . 6500620713712 . 174358400812512
96 0
97 38926 . 9716 . 155310 . 17474 . 32992 . 58212 . 85372 . 87312 . 104774 . 110592 . 11447 . 126112 . 168792 . 190132 . 230872 . 568432 . 1173712 . 1326972 . 1429792 . 1552012 . 3201012 . 3530812 . 4223392 . 4654072 . 5631832 . 6504832 . 7059672 . 8233372 . 10217992 . 11585692 . 14788632 . 25922292 . 36413812 . 36536032 . 53188992 . 69613032 . 208635372 . 257820192 . 348827532 . 377064232 . 398891172 . 599068132 . 949280812 . 1043337832 . 1960825912 . 2765440912 . 4516492674 . 10511711532 . 11678165632 . 14104420812 . 22260136192 . 32323022892 . 110555992512 . 111799678012 . 116619024072 . 374453798692 . 789918520312 . 809629777792 . 966271226892 . 968595651472 . 1170922643632 . 1760268734932 . 88885293222712 . 152446395094332 . 203745767372272 . 285711884705572 . 367283446354012 . 378824480567532 . 430464054869392 . 511130245563372 . 612486615663492 . 640601531383612 . 892948276281612 . 566785575021415792 . 13842607235828485645766393
98 -1 . 224 . 3 . 296 . 433 . 796 . 1273 . 19748 . 49118 . 88312 . 13736 . 14716 . 26476 . 49996 . 58816 . 64696 . 73516 . 255796 . 288136 . 346936 . 484136 . 554696 . 632116 . 784016 . 1130936 . 1192676 . 12024712 . 12073712 . 1455316 . 3919036 . 6819836 . 24337336 . 25009616 . 26016076 . 39748816 . 44851676 . 57603436 . 66251936 . 67190776 . 114323876 . 5997860696 . 43639531272973 . 44326767985933
99 22 . 7 . 194 . 235 . 372 . 432 . 6716 . 73 . 89 . 19949 . 3314 . 39722 . 4634 . 6612 . 8592 . 99110 . 17832 . 21794 . 23112 . 23774 . 29714 . 31692 . 36312 . 43576 . 53472 . 63372 . 83172 . 87132 . 88212 . 99012 . 108912 . 112872 . 156432 . 170292 . 176232 . 192072 . 196032 . 254112 . 259394 . 271272 . 346512 . 423732 . 489072 . 556392 . 558372 . 566292 . 722712 . 811812 . 843492 . 984072 . 1001892 . 1118712 . 1380072 . 1399872 . 1512732 . 153649 . 1764192 . 1833492 . 2641332 . 3393732 . 4682712 . 4951992 . 5070792 . 5734092 . 599479 . 12705672 . 15139092 . 20312832 . 26387472 . 32422514 . 32976912 . 34354992 . 34950972 . 60835514 . 92464032 . 114457872 . 122859012 . 135129072 . 136653672 . 185569572 . 208662312 . 231612492 . 367175172 . 385973292 . 452303292 . 537284892 . 697100592 . 1273252872 . 1446162312 . 1750933812 . 1958350692 . 2155174572 . 3374482332 . 3499307472 . 5800621872 . 7638269772 . 8262819192 . 11342843832 . 20185240692 . 66186442092 . 148053430812 . 3784505885832 . 33057806959
100 -1 . 3 . 5129 . 119 . 313 . 419 . 616 . 10199 . 15118 . 2519 . 40124 . 6019 . 7016 . 115112 . 130112 . 16016 . 18019 . 19516 . 300118 . 37016 . 38516 . 40513 . 42016 . 46516 . 48016 . 58016 . 61016 . 70016 . 81019 . 501016 . 627016 . 754016 . 796016 . 1504016 . 1530016 . 1695016 . 2262016 . 2685019 . 6675016 . 7246016 . 32736016 . 58273016 . 89760016
101 60716 . 80912 . 12136 . 36372 . 42432 . 78792 . 80812 . 90912 . 92934 . 103032 . 109094 . 117172 . 123232 . 147474 . 187872 . 208072 . 254532 . 414112 . 563592 . 787812 . 890832 . 898912 . 951432 . 1484712 . 2050312 . 2329072 . 2466432 . 3229992 . 6146872 . 6217572 . 6595312 . 6769032 . 6805392 . 7714392 . 9067792 . 10774692 . 29148612 . 46936732 . 50697972 . 84351172 . 95299572 . 96505512 . 102470572 . 154683532 . 193800832 . 202909012 . 264963412 . 473948572 . 488363292 . 549829872 . 848230332 . 893524792 . 1185689512 . 1464744434 . 2068516372 . 2270865832 . 2800023012 . 4597855332 . 4707595872 . 5268469072 . 12099452572 . 34046140512 . 35585847132 . 66869445732 . 71943380712 . 163564431832 . 193633980132 . 560888428792 . 1235166337692 . 7775075980312 . 7432339208719 . 771847982403732 . 1308831851993872 . 1581680757683632 . 2010629467187412 . 2042273909701432 . 2050379272366932 . 2128969361168032 . 2351969395641432 . 2376427005746932 . 2644157368770432 . 3760676505019792 . 4721630355763612 . 4814031031454772 . 341117531003194129
102 0
103 61916 . 103112 . 12378 . 226712 . 24734 . 37094 . 72114 . 103012 . 135972 . 160692 . 197772 . 671572 . 813712 . 1303992 . 1320472 . 1499692 . 1520292 . 1610932 . 1629472 . 1786032 . 2266012 . 2519392 . 4422832 . 10981872 . 11053972 . 21207712 . 97691392 . 149623992 . 183478032 . 296312472 . 678543412 . 819873832 . 1293991072 . 3849989632 . 4674772432 . 5681401732 . 6682094112 . 13700948772 . 15305678472 . 17632242472 . 19707006492 . 21404928532 . 2550183799 . 61238075274 . 87689000572 . 138006655332 . 141776461512 . 496317925932 . 860861881032 . 1010110640272 . 1172441079312 . 1249034695332 . 1314286464292 . 1706500790532 . 1950742898332 . 2212182763692 . 2467554639492 . 5448090281212 . 15023285869092 . 37906444225032 . 563719978473232 . 1416230735357932 . 1657891927626912 . 2391611913980332 . 2573646632853432 . 2616585644024232 . 3766851486116872 . 4243485719106292 . 5097474323635132 . 6475456832193772 . 9558906906517512 . 22147414471731372 . 23197859533258312 . 52574800264389612 . 3976656429941438590393
104 -1 . 331 . 53 . 173 . 5351 . 796 . 1316 . 15715 . 2336 . 31330 . 52124 . 6776 . 93718 . 124912 . 13016 . 16139 . 18736 . 20816 . 239312 . 27319 . 31216 . 33296 . 67096 . 80096 . 81919 . 101936 . 123776 . 134176 . 137296 . 205936 . 267296 . 508576 . 904816 . 1059776 . 4741376 . 4756976 . 8580013 . 12052576 . 13522096 . 18982096 . 33304976 . 41804896 . 90613136 . 318452176 . 321368336 . 340098736 . 366040496 . 415774336 . 3087614413
105 220 . 710 . 112 . 296 . 317 . 418 . 4310 . 614 . 7117 . 127 . 1392 . 151 . 21152 . 2712 . 2814 . 337 . 3492 . 3792 . 42124 . 4632 . 5472 . 63116 . 7012 . 9114 . 105110 . 13012 . 14714 . 17092 . 22692 . 23112 . 23814 . 25218 . 27312 . 30112 . 33614 . 35712 . 42712 . 57412 . 60912 . 63012 . 73512 . 78412 . 88212 . 92412 . 98712 . 123912 . 140712 . 142812 . 170112 . 212114 . 241512 . 245712 . 262512 . 268812 . 283512 . 29191 . 296112 . 308712 . 346512 . 365412 . 388512 . 480912 . 627912 . 674112 . 718212 . 863112 . 106681 . 1113012 . 122921 . 1285212 . 1371314 . 1465812 . 1488912 . 152041 . 1631712 . 1927812 . 1982412 . 2074812 . 2257512 . 2320512 . 2841312 . 3057612 . 3641412 . 4044612 . 7671314 . 8158512 . 9156012 . 12793212 . 13998612 . 16060812 . 25809012 . 26243712 . 27541512 . 30464712 . 33690312 . 33705012 . 34540812 . 37293914 . 41103312 . 42489312 . 45322212 . 51985512 . 79850412 . 118263612 . 126105012 . 139645812 . 177594912 . 180217812 . 262468512 . 415625712 . 523273812 . 620892312 . 823036212 . 1021475712 . 1542116112 . 1974556512 . 2649735912 . 3459174612 . 4572823512 . 2627881411 . 374857981681
106 -1 . 3 . 107105 . 74318 . 10616 . 16976 . 23336 . 31816 . 54076 . 60436 . 63613 . 71036 . 149476 . 150536 . 270316 . 2777312 . 627536 . 694313 . 734596 . 760036 . 1182976 . 1510516 . 1911196 . 2435896 . 2467696 . 296535112 . 126930776 . 176836636 . 196177396 . 203944013 . 260206696 . 435740576 . 523615636 . 540870316 . 583027576 . 794164736 . 799537876 . 2095209796 . 6286167836 . 1192188513716 . 280598107624333
107 64322 . 85712 . 149910 . 21416 . 38536 . 53512 . 57796 . 102732 . 128414 . 147672 . 181912 . 207594 . 246112 . 252532 . 284632 . 303892 . 353112 . 423732 . 528592 . 571392 . 862432 . 888112 . 1215532 . 1459494 . 1594312 . 1707732 . 2133592 . 2788432 . 2910412 . 3749292 . 3819912 . 9983112 . 10259172 . 19525372 . 24648532 . 35787232 . 43546872 . 66564712 . 74076112 . 153444432 . 246504472 . 479274412 . 514892572 . 549181792 . 759950392 . 978994372 . 1576863292 . 1685686572 . 2043023772 . 2932799392 . 17160685692 . 20365382772 . 22299159532 . 37035317232 . 46416118512 . 86082062832 . 145921130172 . 187263884332 . 223145732992 . 344761603432 . 364612960332 . 1302478775892 . 1439674458372 . 2441859578932 . 3136984867072 . 4179792315072 . 9367203022372 . 12029910233212 . 14727046913232 . 17268789453492 . 24267660793132 . 55002342515832 . 1927043117673112 . 3629325619546612 . 4798364833129192 . 4963684252509532 . 6439898158297692 . 9473078420020332 . 10737839792951472 . 12544320426260332 . 22828464387121572 . 28593463804594612 . 36213626902538772 . 91674664392700332 . 162259276829213363391578010288127
108 0
109 109112 . 23992 . 26176 . 32712 . 91572 . 143892 . 209294 . 239812 . 259432 . 281232 . 582072 . 647472 . 946134 . 1131432 . 1286212 . 1726572 . 2249772 . 2289012 . 3655872 . 3937092 . 4492992 . 4787292 . 7880712 . 11281512 . 43750432 . 45158712 . 63078312 . 68975212 . 87274132 . 97469992 . 169279192 . 2131383832 . 2165221794 . 2275848072 . 3002119432 . 3211885572 . 4406900532 . 4578228912 . 5956187292 . 5997278112 . 7284361012 . 745988807 . 52391573772 . 85726921692 . 148569428532 . 209353180432 . 2188504114725812 . 403595300632 . 768104674932 . 962588393632 . 1027473610612 . 1981169184732 . 3214252606192 . 5939851112112 . 7448676956572 . 13095164389572 . 19713612275992 . 23667313707792 . 50530317358812 . 167005438790112 . 1571905351484592 . 3574603556364372 . 5042579043991272 . 8786987609082472 . 9132452996727372 . 11401588206565672 . 11451754500905992 . 14364837376136772 . 15762494534685592 . 16366907355097692 . 18021434747969572 . 18067292544038172 . 19896201469962192 . 21792461099409612 . 29766740389070592 . 35104844202128992 . 46507972822706412 . 68849701739695492 . 173501735759419612 . 182220543555382132 . 870035986098720987332873
110 -1 . 3 . 11126 . 2321 . 313 . 676 . 893 . 1316 . 19918 . 33136 . 66112 . 6833 . 8813 . 9916 . 13216 . 187112 . 231112 . 25316 . 28616 . 29713 . 31913 . 36316 . 46216 . 52816 . 55016 . 75916 . 134216 . 174916 . 183716 . 3916118 . 411416 . 498316 . 785416 . 1326616 . 1665416 . 2019613 . 2223116 . 2240716 . 22660112 . 2384816 . 2857816 . 3741116 . 4150316 . 4922516 . 5701316 . 6276616 . 9088216 . 10764616 . 13053716 . 16584716 . 69282416 . 195673516 . 241558916 . 489124913 . 600022516
111 22 . 7 . 1498 . 22355 . 5932 . 12592 . 14812 . 17778 . 19996 . 22214 . 28872 . 31092 . 33312 . 44414 . 46634 . 51072 . 66614 . 68832 . 75492 . 79934 . 91032 . 122112 . 130994 . 144312 . 166512 . 184272 . 213132 . 217574 . 310812 . 321912 . 327832 . 339672 . 535032 . 674892 . 688212 . 774792 . 1076712 . 1323132 . 1465212 . 1468912 . 1505172 . 1727172 . 2266632 . 2625532 . 321679 . 3238992 . 3253792 . 3320392 . 3472094 . 3509832 . 3538692 . 4679772 . 6171612 . 6204912 . 8231772 . 9499392 . 11077812 . 11211012 . 11324232 . 13854292 . 14287932 . 22486392 . 24466632 . 28282812 . 29956692 . 33679632 . 37329312 . 49685832 . 86937432 . 89401632 . 94108032 . 101600532 . 117990792 . 120898992 . 132454092 . 153457512 . 257095992 . 26295457 . 300001932 . 393919032 . 430220472 . 431954292 . 462701292 . 540185212 . 567378732 . 651279192 . 760385532 . 785391612 . 1566582972 . 2326524492 . 2798942712 . 3135772212 . 319020217 . 3223204692 . 5420114474 . 5420296514 . 616318177 . 8896039512 . 37185916872 . 52380358332 . 60467172312 . 62008029912 . 71342847972 . 94895771472 . 100716234072 . 113390542632 . 134444916072 . 162820394412 . 179728758012 . 240209456772 . 420202994172 . 422922394272 . 634590798432 . 692562506472 . 724937190193632 . 643262724361798332
112 -1 . 2276 . 37 . 53 . 754 . 1318 . 1715 . 2927 . 416 . 439 . 113111 . 1279 . 1976 . 2573 . 28112 . 33736 . 44930 . 6176 . 67312 . 7696 . 9536 . 10096 . 20176 . 26896 . 31376 . 36976 . 51533 . 52796 . 63296 . 70016 . 101936 . 127136 . 145036 . 145616 . 152336 . 249776 . 280016 . 688816 . 924016 . 1059536 . 2672336 . 4248176 . 5158736 . 11579696 . 25345616 . 25936976 . 42675376 . 74608816 . 102738736 . 145489136 . 157903219 . 734519536 . 544109728973
113 22756 . 15836 . 27134 . 29396 . 33915 . 36172 . 49734 . 67812 . 74594 . 83632 . 90412 . 97192 . 203412 . 230532 . 23279 . 239572 . 250872 . 287032 . 300592 . 352572 . 375172 . 388732 . 490432 . 659933 . 4244292 . 6911092 . 12780312 . 13993932 . 14362312 . 14864032 . 1868569 . 41543332 . 88799932 . 130813332 . 231857932 . 831878892 . 1326495712 . 3608566872 . 3862708392 . 4738738632 . 5163921472 . 10887990712 . 13803530832 . 30091396032 . 33129771672 . 45044084872 . 45856740192 . 68912964132 . 451564355632 . 1851879158832 . 2366781716232 . 2779207999792 . 2988070080792 . 3969544557712 . 5971909489032 . 6919367607592 . 8798195740912 . 19460493378292 . 22083919051492 . 26998038864972 . 39457248291472 . 44822503944232 . 53752042710712 . 74546904510292 . 187237851797412 . 254849297687692 . 378576048676392 . 630880043252172 . 630880043252172 . 631428079547532 . 1157171281325532 . 3171549520837972 . 5216381098868892 . 1066818132868207 . 17299267931811612 . 29575289944488132 . 41816029789926412 . 65368456668172992 . 113446603485432972 . 37465685102256612 . 52462393160013672 . 65621207648678872 . 112956437438003412 . 169179533854375212 . 272226325526598792 . 4126704278449210374707712
114 0
115 112 . 31 . 4711 . 1396 . 46126 . 5994 . 69118 . 115114 . 13816 . 23472 . 253110 . 32218 . 33132 . 39112 . 48312 . 55212 . 59816 . 62112 . 75912 . 94312 . 96614 . 14951 . 156412 . 165612 . 170212 . 184012 . 287512 . 335812 . 379512 . 466912 . 515212 . 572712 . 593412 . 627912 . 945312 . 966012 . 1018912 . 1150012 . 178481 . 2488612 . 3243014 . 5023212 . 5131312 . 5651112 . 6865514 . 11812812 . 14667112 . 15076512 . 18055012 . 19395912 . 22305412 . 22553812 . 30256512 . 32885412 . 37423312 . 4036961 . 50257312 . 56731812 . 103104412 . 238068412 . 348592612 . 349112412 . 393079212 . 479984712 . 708823212 . 729447312 . 867500212 . 1033024312 . 1382785312 . 3045050512 . 3531813312 . 3876406212 . 4075077912 . 4966196812 . 5631697212 . 7390314012 . 14303941512 . 22576756312 . 62162573812 . 69362737612 . 80650799512 . 99318708112 . 241419339012 . 248906121912 . 372253086412 . 532477248112 . 1581970815412 . 1848276469514 . 3393430672012 . 4598449820712 . 8256635144112 . 9392629441312 . 13933732515612 . 14241767193912 . 18200288976012 . 18252440645712 . 21102102520912 . 24524183630512 . 53998908354312 . 59544273954912 . 84993757535212 . 270655996788912 . 317031483178512 . 410098203157012 . 647830787314612 . 3670518917963712 . 11152212362528412 . 2646507710984041
116 -1 . 3 . 53 . 5969 . 23357 . 34942 . 92912 . 11033 . 12776 . 174112 . 197312 . 20899 . 41776 . 44096 . 49316 . 58016 . 69616 . 71936 . 83536 . 89336 . 90496 . 98036 . 124136 . 131096 . 153136 . 169376 . 177496 . 180976 . 183296 . 185036 . 194896 . 215776 . 240716 . 414136 . 448936 . 656576 . 1001096 . 2062496 . 2418616 . 5142296 . 7787096 . 7798696 . 8421616 . 242068912 . 30331693 . 48659696 . 108025016 . 161548576 . 1073676299 . 1102383976 . 1279215536 . 4529841776 . 5369036819
The above factorizations of  W115  and  W116  were kindly provided by  Maximilian Hasler.

### Multiplicity Tables  &  New Year's Eve Conjecture  (2015-12-31) :

If  n  is odd and  kn+1  is prime, the multiplicity of the prime  kn+1  in  Wn  is  q(n).
For small values of k,  q(n)  is tabulated below  (see above for k=2).
It's conjectured that  q(n)  is positive when  n  is large enough  (since it's probably asymptotic to  n/k ).

 n q4 (n) n q4 (n) 1 3 7 9 13 15 25 27 37 39 43 45 0 0 2 2 2 4 6 6 8 8 12 12 49 57 67 69 73 79 87 93 97 99 105 115 12 12 18 18 20 18 22 22 26 22 24 26

 n q6 (n) n q6 (n) 1 3 5 7 11 13 17 21 23 25 27 33 35 37 45 47 0 0 1 0 2 2 2 1 4 4 4 6 6 9 8 4 51 55 61 63 73 77 81 83 87 91 95 101 103 105 107 115 10 8 10 10 15 12 12 10 14 16 16 16 16 16 22 18

 n q8 (n) 5 9 11 17 29 35 39 51 57 65 71 75 77 95 101 107 0 1 1 4 3 4 2 8 2 10 4 9 10 18 12 12

 n q10 (n) 3 7 13 15 19 21 25 27 31 33 43 49 57 63 69 75 81 91 97 99 103 105 109 115 0 0 2 1 2 2 2 2 2 4 7 6 2 4 8 8 10 17 6 10 12 10 12 14

 n q12 (n) 3 5 9 13 15 19 23 29 31 33 35 45 51 55 59 61 63 69 71 73 83 85 89 91 93 101 103 115 0 0 0 0 0 4 0 2 0 4 4 4 6 4 4 2 6 6 6 10 4 6 4 8 10 6 8 6

   k     n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 1 3 7 5 7 31 35 15 35 59 73 67 51 67 95 83 63

A similar pattern holds for even orders and odd values of k:

 n q3 (n) 2 4 10 14 20 22 26 32 34 46 50 52 64 70 74 76 80 92 94 104 110 112 116 0 0 3 3 6 6 6 12 12 12 18 15 18 24 27 27 24 27 27 30 36 36 42

   k     n 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 1 4 20 70 64